Міністерство освіти Російської Федерації.

Володимирський Державний Університет.

Кафедра БМІ.

РЕФЕРАТ

на тему:

«Засоби візуалізації зображень в комп'ютерній томографії та

цифрових рентгенографічних системах ».

з дисципліни: Комп'ютерні технології.

Виконав:

студент гр. МЗС-199

Чирков К. В.

Перевірив:

Новіков К. В.

Володимир 2002

ЗМІСТ

1. ВСТУП

1.1. РОЗВИТОК КОМП'ЮТЕРНОЇ ТОМОГРАФІЇ

2. ФІЗИЧНІ І ТЕХНІЧНІ ОСНОВИ ТОМОГРАФІЇ

2.1. ПРИНЦИПИ ОСВІТИ ПОШАРОВОГО ЗОБРАЖЕННЯ

2.2. ОТРИМАННЯ Комп'ютерна томограма

2.3. ПОСИЛЕННЯ КОНТРАСТНОСТІ

3. Цифровий рентгенографічний СИСТЕМИ

3.1. СКЛАД ТЕХНІЧНИХ ЗАСОБІВ АМР ВР

3.2. ОБЛАСТІ ЗАСТОСУВАННЯ І ПЕРЕВАГИ ЦИФРОВИХ СИСТЕМ

3.3. Цифрова рентгенографія з екрана електронно-оптичного перетворювача (ЕОП)

3.4. Цифрова люмінесцентна рентгенографія (ЦЛР)

3.5. Селенова рентгенографія.

4. МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ КОМП'ЮТЕРНОЇ ТОМОГРАФІЇ.

4.1 Математична постановка задачі рентгенівської комп'ютерної томографії, перетворення Радона і формули звернення.

4.2. Приведення формул звернення томографічної реконструкції в конусі променів до виду, що дозволяє будувати чисельні алгоритми.

4.3. Елементи теорії узагальнених функцій у застосуванні до задач звернення променевого перетворення

4.4. Співвідношення між перетвореннями Радону, Фур'є і променевим перетворенням.

5. Використаної літератури.

1. ВСТУП.

Давня латинська приказка говорить: «Diagnosis cetra - ullae therapiae fundamentum» («Достовірний діагноз - основа будь-якого лікування»). Протягом багатьох століть зусилля лікарів були спрямовані на вирішення важкої завдання - поліпшення розпізнавання захворювань людини.

Потреба в методі, який дозволив би заглянути всередину людського тіла, не пошкоджуючи його, була величезною, хоча і не завжди усвідомленою. Адже всі відомості, що стосуються нормальної і патологічної анатомії людини, були засновані тільки на вивченні трупів. Після того, як в Європі стали широко вивчатися розтину трупів, лікарі змогли вивчити будову органів людини, а також зміни, які вони зазнають при тих чи інших захворюваннях.

Яку величезну користь приніс би безпосередній огляд людського організму, якби він став раптом «прозорим»! І навряд чи хто-небудь з учених минулого міг припустити, що ця мрія цілком здійсненна.

Потреба побачити не оболонку, а структуру організму живої людини, його анатомію і фізіологію була настільки нагальною, що, коли чудові промені, які дозволяли здійснити це на практиці, були нарешті відкриті, зазвичай консервативні і часто недовірливі до нововведень лікарі майже відразу зрозуміли, що в медицині настала нова ера.

Вже в перші дні і тижні після того, як стало відомо про існування і властивості цих променів, лікарі різних країн почали застосовувати їх для дослідження найважливіших органів і систем людського тіла. Протягом першого ж року з'явилися сотні наукових повідомлень у пресі, присвячених результатами таких досліджень.

Кількість повідомлень у наступні роки наростало. З'ясовувалися всі нові можливості рентгенологічного методу. З'явилися перші книги, присвячені цьому методу. Незабаром ця література стала неозорої.

У 1946 р. відомий радянський клініцист і організатор охорони здоров'я М. М. пріорів на засіданні, присвяченому 50-річчю рентгенології, говорив: «Що сталося б сьогодні з фізіатра і урології, гінекології та отоларингології, неврологією і онкологією, хірургією і ортопедією, офтальмологією і травматологією, якщо б позбавити їх того, що дала рентгенологія в області діагностики і лікування? »

Але процес науки і техніки нестримний. Не встигли лікарі повністю освоїти можливості рентгенівських променів в діагностиці, як з'явилися інші методи, що дозволяють отримати зображення внутрішніх органів людини, що доповнюють дані рентгенологічного дослідження. До них відносяться радіонуклідне та ультразвукове дослідження (УЗД), теплобачення, ядерно-магнітний резонанс (ЯМР), фотонна емісія і деякі інші методи, ще не набули широкого поширення.

Ці способи засновані на використанні близьких за своєю природою хвильових коливань, для проникнення яких тканини людського тіла не є нездоланною перешкодою. Вони об'єднуються і тим, що в результаті взаємодії хвильових коливань з органами і тканинами організму на різних приймачах - екрані, плівці, папері та ін - виникають їх зображення, розшифровка яких дозволяє судити про стан різних анатомічних утворень.

Такими чином, усі зазначені методи принципово близькі рентгенодіагностиці як за своєю природою, так і за характером кінцевого результату їх застосування.

Впровадження в практику цих методів (поряд з рентгенологией) призвело до виникнення нової великої медичної дисципліни, що отримала за кордоном назва діагностичної радіології (від латинського radius - промінь), а у нас - променевої діагностики.

Можливості цієї дисципліни в розпізнаванні захворювань людини дуже великі. Їй доступні практично всі органи і системи людини, всі анатомічні утворення, розміри яких вище мікроскопічних.

На відміну від класичних медичних методик (пальпації, перкусії, аускультації) основним аналізатором інформації, одержуваної способами променевої діагностики, є орган зору, за допомогою якого ми отримуємо близько 90% відомостей про навколишній світ, до того ж найбільш достовірних. Коли широка мережа медичних закладів буде оснащена високоякісною апаратурою, що дозволяє використовувати всі можливості променевої діагностики, а лікарі, які працюють в цих установах, будуть навчені поводженню з цієї складної апаратурою і, головне, повноцінної розшифровці одержуваних з її допомогою зображень, діагностика основних захворювань людини стане більш ранньої та достовірної не тільки у великих науково-дослідних та клінічних центрах, а й на передовому краї нашої охорони здоров'я - у поліклініках та районних лікарнях. У цих установах працює основна маса лікарів. Саме сюди звертається переважна більшість хворих при виникненні будь-яких тривожних симптомів. Від рівня роботи саме цих лікувально-діагностичних установ у кінцевому підсумку залежить рання та своєчасна діагностика, а отже багато в чому і результати лікування переважної більшості хвороб. [№ 1, стор 3-6]

1.1. Розвиток комп'ютерної томографії.

Винахід рентгенівської томографії з обробкою одержуваної інформації на ЕОМ зробило переворот в області отримання зображення в медицині. Вперше повідомив про новий метод інженер G. Hounsfield (1972). Апарат, виготовлений і випробуваний групою інженерів англійської фірми "EMI", одержав назву ЕМІ-сканера. Його застосовували тільки для дослідження головного мозку.

G. Hounsfield у своєму апараті використовував кристалічний детектор з фотоелектронним помножувачем (ФЕП), проте джерелом була трубка, жорстко пов'язана з детектором, яка робила спочатку поступальний, а потім обертальний (1 ˚) рух при постійному включенні рентгенівського випромінювання. Такий пристрій томографа дозволяло отримати томограму за 4-20 хв.

Рентгенівські томографи з подібним пристроєм (I покоління) застосовувалися тільки для дослідження головного мозку. Це пояснювалося як великим часом дослідження (візуалізації тільки нерухомих об'єктів), так і малим діаметром зони томографірованія до (24 см). Однак одержуване зображення несло велику кількість додаткової діагностичної інформації, що послужило поштовхом не тільки до клінічного застосування нової методики, але і до подальшого вдосконалення самої апаратури.

Другим етапом у становленні нового методу дослідження був випуск до 1974 р. комп'ютерних томографів, що містять кілька детекторів. Після поступального руху, яке проводилося швидше, ніж у апаратів I покоління, трубка з детекторами робила поворот на 3-10 ˚, що сприяло прискоренню дослідження, зменшення променевого навантаження на пацієнта та поліпшення якості зображення. Однак час отримання однієї томограми (20-60 с) значно обмежувало застосування томографів II покоління для дослідження всього тіла зважаючи неминучих артефактів, що з'являються з-за довільних і мимовільних рухів. Аксіальні комп'ютерні рентгенівські томографи даної генерації знайшли широке застосування для дослідження головного мозку в неврологічних і нейрохірургічних клініках.

Одержання якісного зображення зрізу тіла людини на будь-якому рівні стало можливим після розробки в 1976-1977 рр.. комп'ютерних томографів III покоління. Принципова відмінність їх полягала в тому, що було виключено поступальний рух системи трубка-детектори, збільшені діаметр зони дослідження до 50-70 см і первинна матриця комп'ютера (фірми «Дженерал Електрик», «Пікер», «Сіменс», «Тошіба», « ЦЖР »). Це призвело до того, що одну томограму стало можливим отримати за 3-5 с при обороті системи трубка-детектори на 360 ˚. Якість зображення значно покращився і стало можливим обстеження внутрішніх органів.

З 1979 р. деякі провідні фірми почали випускати комп'ютерні томографи IV покоління. Детектори (1100-1200 шт.) В цих апаратах розташовані по кільцю і не обертаються. Рухається тільки рентгенівська трубка, що дозволяє зменшити час отримання томограми до 1-1,5 с при повороті трубки на 360 ˚. Це, а також збір інформації під різними кутами збільшує обсяг отримуваних відомостей при зменшенні витрат часу на томограму.

У 1986 р. стався якісний стрибок в апаратобудуванні для рентгенівської комп'ютерної томографії. Фірмою «Іматрон» випущений компь-ютерний томограф V покоління, що працює в реальному масштабі часу. У 1988 р. комп'ютерний томограф «Іматрон» купила фірма «Пікер» (США) і тепер він називається «Фастрек».

Враховуючи зацікавленість клінік в придбанні комп'ютерних томографів, з 1986 р. визначився напрям з випуску «дешевих» компактних систем для поліклінік і невеликих лікарень (М250, «Меди-тек»; 2000т, «Шімадзу»; СТ МАХ, «Дженерал Електрик»). Володіючи деякими обмеженнями, пов'язаними з числом детекторів або часом та обсягом інформації, що збирається, ці апарати дозволяють виконувати 75-95% (залежно від виду органу) досліджень, доступних «великим» комп'ютерним томографом. [№ 2, стор 8-10]

2. ФІЗИЧНІ І ТЕХНІЧНІ ОСНОВИ ТОМОГРАФІЇ

2.1.Прінціпи освіти пошарового зображення.

При виконанні звичайної рентгенограми три компоненти - плівка, об'єкт і рентгенівська трубка - залишаються в спокої. Томографічний ефект можна отримати при наступних комбінаціях: 1) нерухомий об'єкт і рухомі джерело (рентгенівська трубка) і приймач (рентгенографічна плівка, селенова пластина, кристалічний детектор і т.п.) випромінювання; 2) нерухомий джерело випромінювання і рухомі об'єкт і приймач випромінювання; 3) нерухомий приймач випромінювання та рухомі об'єкт і джерело випромінювання. Найбільш поширені томографи з синхронним переміщенням трубки і плівки в протилежних напрямках при

Рис.1 Принцип утворення пошарового зображення.

F0, F1, F2-нульове, поточна й кінцеве положення фокусу рентгенівської трубки; j -1 / 2 кута повороту трубки; S-поверхня столу; Т-об'єкт дослідження; О-точка виділяється шару; О 1, О 2-точки, що знаходяться вище і нижче виділяється шару; О `, О ``-проекції точки О на плівці при початковому і кінцевому положеннях фокусу рентгенівської трубки; О 1`, O 1 ``-проекції точки О 1 на плівці при тих ж положеннях фокусу трубки; О 2 `, О 2 ``-проекції точки О 2 при тих же положеннях фокусу трубки; О `` `-проекції всіх точок на плівці при нульовому положенні рентгенівської трубки.

нерухомому об'єкті дослідження. Рентгенівський випромінювач і касетоп-власника з приймачем випромінювання (рентгенівська плівка, селенова пластина) з'єднують жорстко за допомогою металевого важеля. Вісь обертання важеля (переміщення трубки і плівки) знаходиться над рівнем столу і її можна довільно переміщати.

Як показано на рис.1, при переміщенні трубки з положення F1 в положення F2, проекція точки О, яка відповідає осі обертання важеля, буде постійно перебувати в одному і тому ж місці плівки. Проекція точки Про нерухома щодо плівки і, отже, її зображення буде чітким. Проекції точок О1 і О2, що знаходяться поза виділяється шару, з переміщенням трубки і плівки змінюють своє положення на плівці і, отже, їх зображення буде нечітким, що розмазав. Доведено, що геометричним місцем точок, проекції яких при русі системи нерухомі щодо плівки, є площина, паралельна площині плівки і що проходить через вісь закінчення системи. На томограмі, таким чином, будуть чіткими зображення всіх точок, що знаходяться в площині на рівні осі обертання системи, тобто в виділяється томографическом шарі.

На малюнку показано переміщення трубки і плівки по траєкторії пряма-пряма, тобто по паралельних прямолінійних напрямних. Такі томографи, що мають найпростішу конструкцію, набули найбільшого поширення. У томографах з траєкторіями дуга-дуга, дуга-пряма геометричним місцем точок, проекції яких при русі системи нерухомі щодо плівки, є площина, паралельні площини-кості плівки і що проходить через вісь хитання системи; виділяється шар також плоскої форми. Через більш складної конструкції ці томографи набули меншого поширення.

Описані вище апарати відносяться до лінійних томографа (з лінійними траєкторіями), так як проекції траєкторій руху системи трубка-плівка на виділяється площину мають вигляд прямої лінії, а тіні розмазування мають прямолінійну форму.

За кут повороту (хитання) трубки 2j в таких томографах приймають кут її повороту з одного крайнього положення в інше; переміщення трубки від нульового положення одно j.

У томографах з нелінійним розмазуванням переміщення системи трубка - плівка відбувається по криволінійних траєкторіях - колу, еліпсу, гіпоціклоіде, спіралі. При цьому відношення відстаней фокус трубки - центр обертання і центр обертання - плівка зберігається постійним. І в цих випадках доведено, що геометричним місцем точок, проекції яких при русі системи нерухомі щодо плівки, є площина, паралельна площині плівки і що проходить через вісь хитання системи. Розмазування зображення точок об'єкта, що лежать поза виділяється площині, відбувається за відповідними кривим траєкторіям руху системи. Розмазуємо зображення повторюють на плівці траєкторію переміщення фокусу рентгенівської трубки.

При симультанної (багатошарової) томографії в один прийом (одне переміщення трубки і плівки в протилежних напрямках) отримують кілька томограм завдяки розташуванню в одній касеті кількох плівок, розташованих на деякій відстані один від одного. Проекція зображення першого шару, що знаходиться на осі обертання системи (обраною висотою шару), виходить на верхній плівці. Геометрично доведено, що на наступних плівках отримують своє зображення нижележащие паралельні до осі руху системи шари, відстані між якими приблизно рівні відстаням між плівками. Основним недоліком поздовжньої томографії є ​​те, що розпливчасті зображення вище-і нижчих площин з небажаною інформацією зменшують природну контрастність. Внаслідок цього сприйняття в виділяється шарі тканин з невисокою контрастністю погіршується.

Зазначеного недоліку позбавлена ​​аксіальна комп'ютерна рентгенівська томографія. Це пояснюється тим, що суворо коллімірованний пучок рентгенівського випромінювання проходить тільки через ту площину, яка цікавить лікаря. При цьому реєстрація розсіяного випромінювання зведена до мінімуму, що значно покращує візуалізацію тканин, особливо мало контрастних. Зниження реєстрації розсіяного випромінювання при комп'ютерній томографії здійснюється коліматорами, один з яких розташований на виході рентгенівського пучка з трубки, інший - перед складанням детекторів.

Відомо, що при однаковій енергії рентгенівського випромінювання матеріал з більшою відносною молекулярною масою буде поглинати рентгенівське випромінювання в більшій мірі, ніж речовина з меншою відносною молекулярною масою. Подібне ослаблення рентгенівського пучка може бути легко зафіксовано. Однак на практиці ми маємо справу з абсолютно неоднорідним об'єктом - тілом людини. Тому часто трапляється, що детектори фіксують кілька рентгенівських пучків однакової інтенсивності в той час, як вони пройшли через абсолютно різні середовища. Це спостерігається, наприклад, при проходженні через однорідний об'єкт достатньої довжини і неоднорідний об'єкт з такою ж сумарної щільністю.

При поздовжній томографії різницю між щільністю окремих ділянок визначити неможливо, оскільки «тіні» ділянок накладаються один на одного. За допомогою комп'ютерної томографії вирішена і це завдання, тому що при обертанні рентгенівської трубки навколо тіла пацієнта детектори реєструють 1,5 - 6 млн сигналів з різних точок (проекцій) і, що особливо важливо, кожна точка багаторазово проектується на різні навколишні точки.

При реєстрації ослабленого рентгенівського випромінювання на кожному детекторі збуджується струм, що відповідає величині випромінювання, що потрапляє на детектор. У системі збору даних струм від кожного детектора (500-2400 шт.) Перетвориться в цифровий сигнал і після підсилення подається в ЕОМ для обробки і зберігання. Тільки після цього починається власне процес відновлення зображення.

Відновлення зображення зрізу за сумою зібраних проекцій є надзвичайно складним процесом, і кінцевий результат являє собою якусь матрицю з відносними числами, що відповідає рівню поглинання кожної точки окремо.

У комп'ютерних томографах застосовуються матриці первинного зображення 256х256, 320х320, 512х512 і 1024х1024 елементів. Якість зображення росте при збільшенні числа детекторів, збільшення кількості реєстрованих проекцій за один оборот трубки і при збільшенні первинної матриці. Збільшення кількості реєстрованих проекцій веде до підвищення променевого навантаження, застосування більшої первинної матриці - до збільшення часу обробки зрізу або необхідності встановлювати додаткові спеціальні процесори відеозображення. [№ 2, стор 10-13]

2.2. Отримання комп'ютерної томограми.

Отримання комп'ютерної томограми (зрізу) голови на обраному рівні грунтується на виконанні наступних операцій: 1) формування необхідної ширини рентгенівського променя (коллімірованіе), 2) сканування голови пучком рентгенівського випромінювання, здійснюваного рухом (обертальним і поступальним) навколо нерухомої голови пацієнта пристрою «випромінювач - детектори »; 3) вимір випромінювання та визначення його ослаблення з подальшим перетворенням результатів в цифрову форму; 4) машинний (комп'ютерний) синтез томограми за сукупністю даних вимірювання, що відносяться до обраного шару; 5) побудова зображення досліджуваного шару на екрані відеомонітора (дисплея).

У системах комп'ютерних томографів сканування і отримання зображення відбуваються таким чином. Рентгенівська трубка в режимі випромінювання «обходить» голову по дузі 240 ˚, зупиняючись через кожні 3 ˚ цієї дуги і роблячи поздовжнє переміщення. На одній осі з рентгенівським випромінювачем закріплені детектори - кристали йодистого натрію, перетворюють іонізуюче випромінювання в світлове. Остання потрапляє на фотоелектронні помножувачі, що перетворюють цю видиму частину в електричні сигнали. Електричні сигнали піддаються посиленню, а потім перетворення на цифри, які вводять в ЕОМ. Рентгенівський промінь, пройшовши через середовище поглинання, послаблюється пропорційно щільності тканин, що зустрічаються на його шляху, і несе інформацію про ступінь його ослаблення в кожному положенні сканування. Інтенсивність випромінювання у всіх проекціях порівнюється з величиною сигналу, що надходить з контрольного детектора, що реєструє вихідну енергію випромінювання відразу ж на виході променя з рентгенівської трубки.

Отже, формування показників поглинання (ослаблення) для кожної точки досліджуваного шару відбувається після обчислення відношення величини сигналу на виході рентгенівського випромінювача до значення його після проходження об'єкта дослідження (коефіцієнти поглинання).

У ЕОМ виконується математична реконструкція коефіцієнтів поглинання і просторове їх розподіл на квадратній багатоклітинній матриці, а отримані зображення передаються для візуальної оцінки на екран дисплея.

За одне сканування отримують два дотичних між собою зрізу товщиною 10 мм кожний. Картина зрізу відновлюється на матриці розміром 160х160.

Отримані коефіцієнти поглинання виражають у відносних одиницях шкали, нижня межа якої (-1000 ед.Н.) (ед.Н. - одиниці Хаунсфільда ​​або числа комп'ютерної томографії) відповідає ослабленню рентгенівських променів у повітрі, верхня (+1000 ед.Н.) - послаблення у кістках, а за нуль приймається коефіцієнт поглинання води. Різні тканини мозку і рідкі середовища мають різні за величиною коефіцієнти поглинання. Наприклад коефіцієнт поглинання жиру знаходиться в межах від -100 до 0 ед.Н., спинномозкової рідини - від 2 до 16 ед.Н., крові - від 28 до 62 ед.Н. Це забезпечує можливість отримувати на комп'ютерних томограмах основні структури мозку і багато патологічні процеси в них. Чутливість системи в уловлюванні перепаду рентгенівської щільності в звичайному режимі дослідження не перевищує 5 ед.Н., що становить 0,5%.

На екрані дисплея високим значенням щільності (наприклад, кістки) відповідає світлі ділянки, низьким - темні. Градаційна здатність екрана становить 15-16 напівтонових ступенів, розрізняє людським оком. На кожну ступінь, таким чином, доводиться близько 130 ед.Н.

Для повної реалізації високої роздільної здатності томографа по щільності в апараті передбачені кошти управління так званої ширини вікна і його рівня (положення), щоб дати рентгенологу можливість аналізувати зображення на різних ділянках шкали коефіцієнтів поглинання. Ширина вікна - це величина різниці найбільшого і найменшого коефіцієнтів поглинання, відповідна вказаною перепаду яскравості. Положення або рівень вікна (центр вікна) - це величина коефіцієнтів ослаблення, рівна середині вікна і обрана з умов найкращого виявлення густин цікавить групи структур або тканин. Найважливішою характеристикою є якість одержуваного зображення.

Відомо, що якість візуалізації анатомічних утворень головного мозку та вогнищ ураження залежить в основному від двох факторів: розміру матриці, на якій будується томограма, і перепаду показників поглинання. Величина матриці може справити значний вплив на точність діагностики. Так, кількість помилкових діагнозів при аналізі томограм на матриці 80х80 клітин становила 27%, а при роботі на матриці 160х160 - зменшилося до 11%.

Комп'ютерний томограф володіє двома видами роздільної здатності: просторової і по перепаду щільності. перший тип визначається розміром клітки матриці (зазвичай - 1,5 х1, 5 мм), другий дорівнює 5 ед.Н. (0,5%). Відповідно до цих характеристик теоретично можна розрізняти елементи зображення розміром 1,5 х1, 5 мм при перепаді щільності між ними не менше 5 ед.Н. (1%) вдається виявляти вогнища величиною не менш 6х6 мм, а при різниці в 30 ед.Н. (3%) - деталі розміром 3х3 мм. Звичайна рентгенографія дозволяє вловити мінімальну різницю по щільності між сусідніми ділянками в 10-20%. Однак при дуже значному перепаді густин поруч розташованих структур виникають специфічні для даного методу умови, що знижують його роздільну здатність, тому що при побудові зображення в цих випадках відбувається математичне усереднення і при цьому вогнища невеликих розмірів можуть бути не виявлені. Найчастіше це відбувається при невеликих зонах зниженої щільності, розташованих поблизу масивних кісткових структур (піраміди скроневих кісток) або кісток склепіння черепа. Важливою умовою для забезпечення проведення комп'ютерної томографії є ​​нерухоме положення пацієнта, бо рух під час дослідження приводять до виникнення артефактів - наведень: смуг темного кольору від утворень з низьким коефіцієнтом поглинання (повітря) і білих смуг від структур з високим КП (кістка, металеві хірургічні кліпси ), що також знижує діагностичні можливості. [№ 3, стор 16-19]

2.3. Посилення контрастності.

Для отримання більш чіткого зображення патологічно змінених ділянок у головному мозку застосовують ефект посилення контрастності, яких досягається внутрішньовенним введенням рентгеноконтрастної речовини. Збільшення щільності зображення на комп'ютерній томограмі після внутрішньовенного введення контрастної речовини пояснюється внутрішньо-і позасудинним компонентами. Внутрішньосудинне посилення знаходиться в прямій залежності від вмісту йоду в циркулюючої крові. При цьому збільшення концентрації на 100 мг йоду в 100 мл обумовлює величини абсорбції на 26 ед.Н. (Ед.Н. - одиниці Хаунсфільда ​​або числа комп'ютерної томографії). При комп'ютерно-томографічних вимірах венозних проб після введення 60% контрастної речовини в дозі 1 мл на кг маси тіла, щільність потоку підвищується в середньому протягом 10 хв після ін'єкції, складає 39,2 плюс-мінус 9,8 ед.Н. Зміст контрастної речовини в крові, що протікає змінюється в результаті того, що відносно швидко починається виділення його нирками. Вже протягом перших 5 хв після болюсної ін'єкції концентрація речовини в крові в середньому знижується на 20%, у наступні 5 хв - на 13% і ще через 5 хв - на 5%.

Нормальне збільшення щільності мозку на комп'ютерній томограмі після введення контрастної речовини пов'язане з внутрішньосудинної концентрацією йоду. Можна отримати зображення судин діаметром до 1,5 мм, якщо рівень йоду в крові становить приблизно 4 мг / мл і за умови, що посудина розташований перпендикулярно до площини зрізу. Спостереження привели до висновку, що контрастне речовина накопичується в пухлинах. [№ 4, стор 17-19]

3. Цифровий рентгенографічний СИСТЕМИ

Перетворення традиційної рентгенограми в цифрової масив з подальшою можливістю обробки рентгенограм методами обчислювальної техніки стало поширеним процесом. Такі аналогові системи часто мають дуже жорсткі обмеження на експозицію з-за малого динамічного діапазону рентгенівської плівки. На відміну від аналогових прямі цифрові рентгенографічні системи дозволяють отримувати діагностичні зображення без проміжних носіїв, при будь-якому необхідному рівні дози, причому це зображення можна обробляти та відображати самими різними способами. [№ 6]

На рис.2 наведена схема типової цифровий рентгенографічної системи. Рентгенівська трубка і приймач зображення пов'язані з комп'ютером і управляються їм, а одержуване зображення запам'ятовується, обробляється (у цифровій формі) і відображається на телеекрані, що становить частину пульта управління (або пристрої виведення даних) оператора-рентгенолога.

Аналогічні пульти управління можна застосовувати і в інших системах отримання зображення, наприклад на основі ядерного магнітного резонансу або комп'ютерної томографії. Цифрове зображення можна записати на магнітному носії, оптичному диску або ж на спеціальному записувальному пристрої, здатному постійно вести реєстрацію зображення на плівку в аналоговій формі.

Рис.2 Складові ел елементах цифрової системи одержання рентгенівських

зображень

У цифровій рентгенології можуть знайти застосування два класи приймачів зображення: приймачі з безпосереднім формуванням зображення і приймачі з частковою реєстрацією зображення, в яких повне зображення формується шляхом сканування або рентгенівським пучком, або на приймальний пристрій (скануюча проекційна рентгенографія). У цифровій рентгенографії застосовують підсилювач зображення, іонографіческую відеокамеру і з вимушеною люминисценции. Ці приймачі можуть безпосередньо формувати цифрові зображення без проміжної реєстрації та зберігання. Підсилювачі зображення не мають найкращий просторовим дозволом або контрастом, однак мають високу швидкодію. Аналого-цифрове перетворення флюорограми з числом точок у зображенні 512х512 може займати час менше 0,03 с. Навіть при числі точок 2048х2048 в зображенні час перетворення зображення в цифрову форму складає всього декілька секунд. Час зчитування зображення з пластини з вимушеною люминисценции або іонографіческой камери значно більше, хоча останнє вигідно отли-чає кращим дозволом і динамічним діапазоном.

Записане на фотоплівці зображення можна перетворити в цифрову форму з допомогою скануючого микроденситометрии, але будь-яка інформація, зафіксована на фотоплівці з дуже малої або, навпаки, занадто високою оптичною щільністю, буде спотворена через вплив характеристик плівки. У цифрову форму можна перетворити і ксеро-рентгенограму також за допомогою скануючого денситометра, що працює у відбитому світлі, або шляхом безпосереднього зчитування зарядового зображення з селеновій пластини. [№ 5, стор 99-100]

У Росії пряма цифрова рентгенографічна систему Інституту ядерної фізики (ІЯФ) СО РАН застосовується в декількох клінічних лікарнях. У цій системі рентгенівська плівка як реєстратор рентгенівського випромінювання замінена багатопроволкової пропорційної камерою. Така камера разом з електронними схемами посилення і формування імпульсів являє собою лінійку на 256 практично незалежних каналів, що мають чутливу поверхню 1х1 мм. (В останніх моделях 350 каналів і 0,5 х0, 5 мм.) Використання в лічильниках в якості робочого газу ксенону при тиску 3 кгс/см2 забезпечує високу ефективність реєстрації випромінювання. Ця система може бути віднесена до класу іонографіческіх приладів для цифрової рентгенографії, що передають зображення на зовнішні пристрої відображення.

В інших цифрових рентгенографічних системах використовують твердотільні приймачі з високим коефіцієнтом поглинання рентгенівського випромінювання.

В обох різновидах згаданих рентгенографічних систем застосовується метод сканування з порядкової реєстрацією зображення, яке відтворюється в ціле на дисплеї комп'ютера (скануюча проекційна рентгенографія).

До другого класу цифрових рентгенографічних систем слід віднести люмінофори з пам'яттю і вимушеної люмінесценцією, яка потім реєструється. Це приймач з безпосереднім формуванням зображення. [№ 6]

Системи отримання зображення зі скануванням рентгенівським пучком і приймачем мають важливу перевагу, що полягає в тому, що в них добре пригнічується розсіювання. У цих системах один коліматор розташовується перед пацієнтом з метою обмеження первинного рентгенівського пучка до розмірів, необхідних для роботи приймача, а інший - за пацієнтом, щоб зменшити розсіювання. На рис.3 зображено лінійна скануюча система для отримання цифрового зображення грудної клітини. Приймачем в системі є смужка із оксисульфід гадолінію, зчитування інформації з якою ведеться лінійної матрицею з 1024 фотодіодів. Проекційні рентгенограми синтезуються також сканерами комп'ютерної томографії та виконують допоміжну роль при виділенні відповідного перерізу.

Головним недоліком скануючих систем є те, що більша частина корисної вихідної потужності рентгенівської трубки втрачається і що необхідні великі часи експозиції (до 10 с).

Рис.3 Система лінійного сканування для цифрової рентгенографії

грудної клітини.

Матриці зображення з 512х512 елементів може бути цілком достатньо для цілей цифровий флюороскопії (флюорографії), тоді як система рентгеноскопії грудної клітини може зажадати матриці з числом елементів 1024х1024 при розмірах елемента зображення 0,4 мм.

Число градацій в зображенні залежить від медичного призначення. Аналого-цифрового перетворення на 8 біт, що забезпечує точність 0,4%, цілком достатньо для реєстрації зашумлених зображень або великих масивів (меншою ступені градації яскравості відповідає більший рівень шуму), однак для низки додатків може знадобитися і 10-бітовий АЦП (точність 0, 1%).

Якщо потрібно швидкий доступ до інформації, отриманої за тривалий період часу, доцільно застосовувати оптичні диски. Ємність пам'яті 12-дюймового оптичного диска дорівнює приблизно 2 гігабайт, що відповідає 1900 зображень розміром 1024х1024 по 8 біт кожне (без стиснення даних). Для зчитування з оптичного диска може бути використано автоматичний пристрій знімання, що дозволяє забезпечити швидкий доступ до будь-якого зображення. Можливість роботи з усіма зображеннями в цифровій формі дуже приваблива, а системи, що виконують це, називаються системами зберігання і передачі зображення (СПХІ або СХПІ). [№ 5, стор 100-102]

Рис.5 Принципова схема взаємодії елементів системи отримання, обробки, зберігання та передачі рентгенівських діагностичних зображень.

На рис.5 зображена принципова схема взаємодії елементів системи отримання, обробки, зберігання та передачі рентгенівських діагностичних зображень.

Система представлена ​​трьома каналами: 1) традиційна рентгенографія, 2) цифровий рентгенографічних установка, 3) рентгеноскопія (відеосигнал з УРІ).

Перший канал. Рентгенограми, отримані за допомогою традиційного процесу, надходять на обробку в напівтоновий графічний сканер, за допомогою якого рентгенодіагностичне зображення вводиться в пам'ять комп'ютера. Після цього таке перетворена рентгенограма може оброблятися засобами комп'ютерної техніки, але в рамках вузького динамічного діапазону рентгенівської плівки. Це зображення може бути введено в електронний архів і вилучатись звідти на вимогу. Ця оцифрована рентгенограма вже нічим не відрізняється від прямих цифрових рентгенограм за доступністю засобів обробки.

Третій канал. Рентгенівські зображення з рентгенотелевізійних каналу ПРЗ можуть захоплюватися спеціалізованим адаптером відеовведення як в режимі реального часу, так і з відеомагнітофоном кадру. Остання переважно, тому що дозволяє при перегляді відеомагнітофонних зображень вибрати потрібний кадр для занесення її в архів. Об'єктом введення в електронний архів можуть бути будь-які зображення, одержувані при рентгеноскопії за допомогою УРІ.

Перший і третій канали дають можливість перетворити традиційні рентгенівські зображення (рентгенограми і кадри відеотелевізіонного тракту) в цифрове зображення. Цей прийом має особливе значення, тому що він представляє можливість достовірно порівняти зображення, отримані різними способами. Наступною перевагою перетворення є можливість приміщення його в електронний архів і виконання всіх операцій з цифровим зображенням. Слід особливо підкреслити можливість передачі зображення по комп'ютерних мережах, тому що в останні роки «погляди медиків фокусуються на передачі зображень» як основному засобі забезпечення доступу до матеріалів, що має колосальне значення як для діагностики, так і для процесів навчання.

Другий канал. Це власне канал цифровий рентгенографічної установки. Він складається з двох підсистем: автоматизованого робочого місця (АРМ) лаборанта та АРМ лікаря-рентгенолога (ВР), об'єднаних в локальну мережу. В АРМ рентгенолаборанта відбувається внесення відомостей про хворого, необхідних організаційних і клінічних даних і керування процесом реєстрації зображення (синхронне включення сканера і високої напруги та ін.) Після отримання рентгенівського зображення воно і відомості про пацієнта по локальній мережі надходять в АРМ ВР. При цьому процес рентгенографії і передачі зображень від АРМ лаборанта в АРМ лікаря відбувається без зволікань і в реальному часі, не перериваючи роботи лікаря ні на одному щаблі, тобто відбувається безперервна і незалежна робота на обох робочих місцях. На АРМ ВР виконуються програмна обробка зображень для вилучення діагностичної інформації, пошук попередніх зображень пацієнтів і порівняння із знов отриманими, реєстрація нових пацієнтів і зображень у базі даних, приведення їх до формату, оптимальному для архівування, та інші маніпуляції, доступні електронних технологій персонального комп'ютера. Програмне забезпечення дозволяє лікарю-рентгенолога при необхідності створити тверді копії зображень на лазерному принтері (цей спосіб отримання твердих копій трохи поступається в точності передачі діагностичних зображень теплопечаті або поляроїдних фотопроцесу, але значно дешевше всіх інших способів відтворення зображення); при наявності мережевого зв'язку дозволяє передати їх клінічні підрозділи, зв'язатися з консультаційними центрами або центральним архівом по електронному зв'язку. Блок бази даних, що є серцевиною системи, формалізує всі етапи роботи з пацієнтом від внесення даних лаборантом до розміщення в архівне зберігання, дозволяє лікарю-рентгенолога створювати всі види стандартної звітності, а також аналізувати проведену роботу за цільовими вибірках. Кінцевим етапом роботи з цифровим зображенням всіх трьох видів є його архівування на магнітний або оптичний носій. [№ 6]

3.1. Склад технічних засобів АРМ ВР.

Вибір технічних засобів для АРМ ВР (автоматизоване робоче місце лікаря-рентгенолога) багато в чому залежить від типу розв'язуваних завдань. Зазвичай в якості технічної бази для АРМ обробки зображень використовують графічні станції або персональні комп'ютери. Графічні станції, створені перш за все для рішень завдань машинної графіки, обладнані спеціальними графічними процесорами, які прискорюють процедури побудови графічних примітивів (особливо тривимірних). Для задач обробки та аналізу зображень більш істотна швидкість обробки відеоданих. Тому в якості технічної бази АРМ ВР використана широко розповсюджена і дешева ПЕОМ типу IBM PC / AT.

Рис.4 Блок-схема технічних засобів АРМ ВР.

1-негатоскоп; 2-телевізійна камера; 3-ПЕОМ; 4-фрейм-граббер; 5-телемоніторів.

Практична робота показала, що продуктивність персонального комп'ютера в багатьох випадках достатня, щоб виконувати завдання обробки відеоданих в реальному часі лікаря. Крім того ПЕОМ мають потужні технічні та програмні засоби для організації «віконного» людино-машинного діалогу.

При використанні зображень, записаних в аналоговому вигляді, наприклад рентгенограм, необхідний пристрій для введення і візуалізації їх в ЕОМ. В якості такого пристрою зручно використовувати фрейм-граббер конструктивно оформлений у вигляді плати, розташованої в корпусі ПЕОМ. Також необхідно мати телекамеру з об'єктивом, світловий стіл для підсвічування рентгенограм (негатоскоп) та телемонітора для візуалізації зображень (рис. 4). Пристрій цифрового введення і візуалізації зображень має забезпечувати високу якість представлення медичних зображень, щоб при їх використанні не губилася важлива діагностична інформація.

[№ 7]

3.2. Області застосування та переваги цифрових систем.

До переваг цифрових рентгенографічних систем належать такі чотири фактори: цифрове відображення зображення; знижена доза опромінення; цифрова обробка зображень; цифрове зберігання і поліпшення якості зображень.

Розглянемо перше перевагу, пов'язану з відображенням цифрової інформації. Розкладання зображення за рівнями яскравості на екрані стає повною мірою доступним для користувача. Весь діапазон оптичних яркостей може бути використаний для відображення лише однієї ділянки зображення, що призводить до підвищення контрасту в області, що цікавить. У розпорядженні оператора є алгоритми для аналогової обробки зображення з метою оптимального використання можливостей систем відображення. [№ 5, стор 103]

Це властивість цифрової рентгенографії також дає можливість знизити променеве навантаження на пацієнта шляхом зменшення кількості рентгенограм для отримання діагностичної інформації (тієї ж корисності).

Цифрове відображення при його комп'ютерній обробці дозволяє витягти кількісну та якісну інформацію і таким чином перейти від інтуїтивно-емпіричного способу зображення до об'єктивно виміряного.

Істотним переваг цифрової рентгенографії перед екранно-плівковим процесом є простота і швидкість отримання зображення. Зображення стає доступним аналізу лікарем-рентгенологом у момент закінчення експозиції. [№ 6]

Друга перевага цифрової рентгенології - можливість зниження дози опромінення. Якщо у звичайній рентгенології доза опромінення залежить від чутливості приймача зображення і динамічного діапазону плівки, то в цифровий рентгенології обидва ці показники можуть виявитися несуттєвими. Зниження дози можна досягти установкою експозиції, при якій підтримується необхідний рівень шуму в зображенні. Подальше зменшення дози можливо шляхом підбору такої довжини хвилі рентгенівського випромінювання, яка забезпечувала б мінімальну дозу при даному відношенні сигнал / шум, а також шляхом ліквідації будь-яких втрат контрасту за допомогою описаних вище методів відображення цифрових зображень.

Третя перевага цифрової рентгенології - це можливість цифрової обробки зображень. Рентгенолог повинен виявити аномальні освіти на ускладненою фоном нормальній структурі біотканини. Він може не помітити дрібних деталей у зображенні, які система дозволяє, або пропустити слабоконтрастних структуру, видиму на тлі шумів зображення, через складний будови оточуючих (або сверхлежащіх) тканин. Субстракціонний метод в рентгенографії дозволяє усунути більшу частину паразитної фонової структури й тим самим збільшити ймовірність виявлення важливих деталей на рентгенограмі. Комп'ютерну томографію можна розглядати як окремий випадок методу субстракціонной рентгенографії, в якому зі звичайних проекційних зображень усувається інформація про вищерозміщених структурах. [№ 5, стр.103-104]

Особлива цінність застосування цифрової рентгенографії полягає в можливості повної відмови від рентгенівської плівки і пов'язаного з нею фотохімічного процесу. Це робить рентгенологічне дослідження екологічно чистіше, а зберігання інформації в цифровому вигляді дозволяє створити легкодоступні рентгенівські архіви. Нові кількісні форми обробки інформації відкривають широкі можливості стандартизації отримання зображень, приведення їх до стандарту якості в момент отримання та при відстрочених повторних дослідженнях. Важлива відкривається можливість передачі зображення на будь-які відстані за допомогою засобів комп'ютерних комунікацій.

Наведені міркування з достатньою наочністю демонструють прогресивність впровадження в практику цифрової рентгенографії, яка зможе перевести діагностичну рентгенологію на новий більш високий технологічний рівень. Відмова від дорогих витратних матеріалів виявляє і її високу економічну ефективність, що в поєднанні з можливістю зменшення променевих навантажень на пацієнтів робить її застосування в практиці особливо привабливим. [№ 6]

3.3. Цифрова рентгенографія з екрана електронно-оптичного перетворювача (ЕОП).

Система рентгенографії з екрану ЕОП (рис. 5) складається, як і звичайна система електронно-оптичного перетворення для просвічування, з ЕОП, телевізійного тракту з високою роздільною здатністю, рентгенівського високовольтного генератора і рентгенівського випромінювача. Сюди ж входить штатив для дослідження, цифровий перетворювач зображення та інші компоненти.

При звичайній методиці рентгенографії з екрану ЕОП за допомогою 100 мм фотокамери або кінокамери перезнімає оптичне зображення на вихідному екрані перетворювача.

У цифровій же системі сигнал, що надходить з відеокамери, аналого-цифровим перетворювачем трансформується в набір цифрових даних і передається в накопичувальний пристрій. Потім ці дані, відповідно до обраних дослідником параметрами, комп'ютерний пристрій переводить у видиме зображення.

Рис.5 Цифрова рентгенографія з екрана ЕОП

1-генератор; 2-рентгенівська трубка; 3-пацієнт, 4-ЕОП; 5-відеокамера;

6-аналого-цифровий перетворювач; 7-накопичувач зображень;

8-відеопроцесор; 9-мережу; 10-цифро-аналоговий перетворювач;

11-монітор; 12-знімок; 13-рентгенолог.

3.4. Цифрова люмінесцентна рентгенографія (ЦЛР).

Застосовувані в ЦЛР (рис.6) пластини-приймачі зображення після їх експонування рентгенівським випромінюванням послідовно, точка за точкою, скануються спеціальним лазерним пристроєм, а що виникає в процесі лазерного сканування світловий пучок трансформується у цифровий сигнал. Після цифрового посилення контурів і контрастності елементів зображення воно лазерним принтером друкується на плівці або відтворюється на телевізійному моніторі робочої консолі. Люмінесцентні пластини-накопичувачі випускаються в стандартних формах рентгенівської плівки, поміщаються замість звичайних комплектів «плівка-підсилюючий екран» у касету і застосовуються у звичайних рентгенівських апаратах.

Така пластина має значно більшу експозиційної широтою, ніж загальноприйняті комбінації плівка-екран, завдяки чому значно розширюється інтервал між недо-і переекспонування. Цим способом можна одержувати досить контрастні зображення навіть при різко зниженою експозиційної дози, нижньою межею якої є лише рівень квантового шуму. Тому навіть при рентгенографії в палаті біля ліжка хворого методика ЦЛР гарантує отримання якісного знімка.

При ЦЛР використовуються цифрові перетворювачі, просторове вирішення яких вище, ніж у більшості використовуваних в даний час для звичайної рентгенографії комбінацій екран-плівка. Все ж особливою перевагою ЦЛР є передача малоконтрастних деталей, тоді як передача дуже дрібних деталей, таких, наприклад, як мікрокальценати в молочній залозі, залишається прерогативою рентгенографії на рентгенівській плівці.

Рис. 6 Цифрова люмінесцентна рентгенографія.

1-генератор; 2-рентгенівська трубка; 3-пацієнт, 4-запам'ятовуюча

пластина; 5-яке транспортує пристрій; 6-аналого-цифровий

перетворювач; 7-накопичувач зображень; 8-відеопроцесор; 9-мережу;

10-цифро-аналоговий перетворювач; 11-монітор; 12-знімок;

13-рентгенолог.

3.5. Селенова рентгенографія.

Селенові детектори представляють собою новітню систему цифрової рентгенографії (рис. 7). Основною частиною такого пристрою служить детектор у вигляді барабана, вкритого шаром аморфного селену. Селенова рентгенографія в даний час використовується тільки в системах рентгенографії грудної клітини. Характерна для знімків грудної клітки висока контрастність між легеневими полями та областю середостіння при цифровій обробці згладжується, не зменшуючи при цьому контрастності деталей зображення. Іншою перевагою селенового детектора є високий коефіцієнт відношення сигнал / шум.

Рис.5 Цифрова селенова рентгенографія.

1-генератор; 2-рентгенівська трубка; 3-пацієнт, 4-селеновий барабан;

5-скануючі електроди + підсилювач; 6-аналого-цифровий перетворення

Ватель; 7-накопичувач зображень; 8-відеопроцесор; 9-мережу;

10-цифро-аналоговий перетворювач; 11-монітор; 12-знімок;

13-рентгенолог.

4. Математичні основи комп'ютерної томографії

Дослідження внутрішньої структури об'єктів за допомогою рентгенівського випромінювання широко поширені і добре відомі. Ослаблення рентгенівського випромінювання уздовж променя, що сполучає джерело і приймач, є інтегральною характеристикою щільності досліджуваного об'єкта. З математичної точки зору мова йде про завдання відновлення функції за її інтегральним значенням вздовж деякого сімейства променів. Різні промені відповідають різним (щодо об'єкта) положенням джерела і приймача випромінювання. Така модель є найпростішою, але в багатьох випадках добре відображає реальну ситуацію і підтверджується дослідженням реальних тестових об'єктів. Щільність реальних об'єктів є функцією трьох просторових координат. Проте в класичній комп'ютерної томографії тривимірний об'єкт представляють у вигляді набору тонких зрізів. Усередині кожного зрізу щільність вважають функцією тільки двох змінних. При дослідженні фіксованого зрізу систему джерело-приймач влаштовують таким чином, що реєструються дані тільки по променям, які лежать в тонкому шарі щодо центральної площини зрізу. Таким чином приходять до задачі відновлення функції двох змінних за її інтегральним значенням вздовж деякого сімейства променів Для реєстрації в віялової схемою, частіше зустрічається в реальних томографах, використовується лінійка детекторів, різні положення джерела щодо об'єкта забезпечуються обертанням системи реєстрації або об'єкта.

4.1. Математична постановка задачі рентгенівської комп'ютерної томографії, перетворення Радона і формули звернення.

У комп'ютерній рентгенівської томографії тривимірний об'єкт представляється зазвичай у вигляді набору тонких зрізів. Для відновлення щільності зрізу вирішується завдання звернення двовимірного перетворення Радона. Перетворенням Радону функції f (x, y) називається функція, обумовлена ​​рівністю .

Зазвичай для відновлення функції двох змінних за її інтегралам вздовж прямих використовується метод згортки і зворотного проектування. У цьому методі формула звернення перетворення Радона записується без явного використання узагальнених функцій. Однак найбільш загальний і природний вигляд формули обернення перетворення Радона набувають при використанні апарату узагальнених функцій. Далі буде розглянуто співвідношення між методом узагальнених функцій і методом згортки і зворотного проектування.

Перед викладом власне чисельного алгоритму буде дано висновок формули звернення, що дозволяє природним чином перейти до побудови алгоритму.

З огляду на рівності

функція при будь-якому фіксованому p визначається своїми значеннями при . Це дозволяє нам перейти до функції

.

Тут L (r, φ) - пряма, ортогональна променю, що має кут φ ρ позитивним напрямом осі X, і віддалена від початку координат на відстань r (r 0), при r <0 L (r, φ) - пряма, симетрична відносно початку координат прямий L (| r |, φ). Висловимо f (x, y) через I (r, φ).

Оскільки

,

де - Перетворення Фур'є функції f, то, переходячи до полярних координатах після елементарних перетворень інтеграла за φ на інтервалі [π, 2π], οолучаем

.

Введемо функцію S (z, φ), вважаючи

.

При фіксованому φ функція S (z, φ) εсть зворотне одномірне перетворення Фур'є від твору і | r |. Для справедливо рівність

.

Зворотне перетворення Фур'є від | r | є узагальнена функція v1/πz ^2. Переходячи від перетворення Фур'є твору до згортку, отримуємо S (z, φ) = I (z, φ) (V1/πz ^2). Використовуючи регуляризацію функції 1 / z ² [19] приходимо до виразу

. (1.5.1)

Таким чином, для f (x, y) справедлива формула

, (1.5.2)

дозволяє висловити шукану функцію через спостережувані дані.

Перш ніж перейти до дискретного варіанту зробимо ряд зауважень, пов'язаних з обгрунтуванням коректності даних алгоритмів у реальних ситуаціях. Узагальнені функції є функціоналів над простором нескінченно диференційовних швидко спадних функцій. Однак при побудові апроксимацій вихідних реальних даних по відліках, заданим в дискретних точках, бажано мати менш жорсткі вимоги до гладкості апроксимуючих функцій. Згортка з узагальненими функціями, зокрема, з функцією 1 / z ^2, може бути визначена для значно менше гладких функцій, це дуже важливо при доказі коректності застосування чисельних алгоритмів, одержуваних за допомогою апарату узагальнених функцій, до реальних даних.

Перейдемо до дискретного варіанту. Будемо припускати, що f (x, y) = 0 поза кола радіуса R з центром в нулі. Вихідними даними є величини I (r _i, φ _i), тут r _i v відліки в інтервалі [-R, R], 1 ≤ i ≤ M - відліки в інтервал [0, π], 1 ≤ j ≤ N. Якщо тепер при заданих значеннях функції I (r, φ) β відлік (r _i, φ _i) побудувати апроксимацію I (r, φ) так, що для S (z, φ) βиполняется рівність (1.5.1), то використовуючи ( 1.5.1) і (1.5.2) можна отримати наближення до f (x, y). Надалі будемо припускати, що відліки на осях r і φ є рівновіддаленими.

При кожному фіксованому φ _j визначимо наступним чином.

1. Функція має безперервну першу похідну за r.

2. У вузлах решітки апроксимуюча функція збігається з заданими відліками, а її похідна в цих точках дорівнює вибірковою. Тобто справедливі рівності: , , Тут h = 2R / (M-1), I (r _0, φ _j) = I (r _{M +1,} φ _j) = 0, i = 1, -, M.

3. На інтервалі [r _i, r _{i +1]} функція є поліном третього ступеня від r.

Перераховані умови дозволяють в явному вигляді отримати коефіцієнти відповідного сплайна. Безпосередніми обчисленнями можна отримати, що

,

де

Q (x) = Q (-x), Q (x) = 0 при | x |> 2h, h = r _{i +1-r i.}

Функція Q (x) має розриви другої похідної, але модуль другої похідної інтегруємо, використовуючи цю обставину можна показати, що згортка S ₀ (z) = Q (x) (-1/πz ²⁾ виражається формулою (1.5.1). Безпосередніми обчисленнями отримуємо

Графіки функцій Q (x) і S ₀ (z) для різних значень h представлені на рис. 1 і рис. 2.

Таким чином,

.

Замінюючи в (1.5.2) S на і інтеграл приватної сумою, отримуємо f ^* (x, y) - наближення до функції f (x, y),

. (1.5.3)

Як вже зазначалося вище, зазвичай в комп'ютерній томографії використовується метод згортки і зворотного проектування. Розглянемо співвідношення між цим методом і методом, викладеним у цьому параграфі. Використовуючи інтегрування по частинам, згортку з узагальненою функцією 1 / z ² можна замінити диференціюванням та згорткою з 1 / z (перетворенням Гільберта).

Тобто функцію

S (z, φ) = I (z, φ) 1 / z ²

можна представити у вигляді

S (z, φ) = I _z ^/ (z, φ) 1 / z

При побудові чисельних алгоритмів замість узагальненої функції 1 / z або, що те ж саме, інтеграла в сенсі головного значення, у методі згортки і зворотного проектування використовують деяку послідовність регулярних функцій p _А (z), сходящуюся до 1 / z (в сенсі узагальнених функцій ) при A прагне до нескінченності. Використовуючи інтегрування по частинам, диференціювання переносять на функції p _А (z) і таким чином отримують регулярні функції, що сходяться до 1 / z ^2, тобто згортка з узагальненою функцією 1 / z ² замінюється послідовністю згорток з регулярними функціями p ^/ _А (z) .

Таким чином, крок згортки в класичному методі можна інтерпретувати в такий спосіб: вихідні дані апроксимуються ступінчастою функцією і здійснюється згортка з регулярною функцією, яка є наближенням до узагальненої функцією 1 / z ^2.

У методі цього параграфа вихідні дані апроксимуються більш гладкими функціями - сплайнами 3-го порядку. Це дозволяє точно обчислити згортку з узагальненою функцією 1 / z ^2, причому в явному вигляді.

Крок зворотного проектування відповідний інтегруванню згортки в обох алгоритмах однаковий.

При використанні алгоритмів у реальних ситуаціях важливо вміти оцінювати вплив шумів на точність одержуваних наближень. Наявність явного вираження для апроксимуючої функції дозволяє обчислити дисперсію помилки в будь-якій точці при фіксованих δr, δφ θ відомих статистичних характеристиках шуму. Для випадку незалежного, адитивного, стаціонарного шуму ξ (z) можна зробити наступне зауваження. Розглянемо процес η, що є згорткою з 1 / z ² процесу ξ. Спектральна щільність цього лінійного перетворення є | λ |. Для спектральних густин процесів ξ і η отримуємо співвідношення f _η (λ) = | λ | ² f _ξ (λ). Δісперсія процесу η кінцева, якщо інтегровна f _η (λ), ςо є процес ξ диференціюємо в середньоквадратичному. Для того, щоб згортка виражалася формулою (1.5.1), на процес ξ потрібно накласти додаткові умови, зажадавши, наприклад, щоб вибіркові функції з імовірністю одиниця мали кінцеву другу похідну.

Чисельне моделювання та відновлення щільності реальних об'єктів з використання методу, викладеного в цьому параграфі, показало високу точність методу, особливо при дослідженні об'єктів і дефектів, що мають складну конфігурацію і ділянки з різкими межами.

Приклади відновлення, з використанням методів, викладених у цьому параграфі, наведені на малюнку 3. Тестовий об'єкт складається з 10 часток. Рис.3 (ліворуч) відповідає 10 поворотів та Рис.3 (праворуч) відповідає 32 поворотів.

4.2. Приведення формул звернення томографічної реконструкції в конусі променів до виду, що дозволяє будувати чисельні алгоритми.

У комп'ютерній рентгенівської томографії тривимірний об'єкт представляється зазвичай у вигляді набору тонких зрізів. Для відновлення щільності зрізу вирішується завдання звернення двовимірного перетворення Радона. Для дослідження ряду об'єктів більш природною є інша схема, коли джерело випромінювання рухається за деякою просторової кривої. Кожній точці кривої відповідає конус променів, що проходять через цю точку. Вихідними даними є дані про послаблення випромінювання при проходженні через об'єкт. Математично задача ставиться як завдання відновлення функції трьох змінних за інтегралам вздовж прямих, що проходять через задану криву. Була отримана формула звернення для функцій, що мають фінітних носій, і для кривих, які відповідають певним умовам. Головним у цих умовах є те, що будь-яка площина, що перетинає об'єкт перетинає криву, по якій рухається джерело. Прикладом кривої, що задовольняє умовам, є сукупність двох одиничних кіл, що лежать у взаємно перпендикулярних площинах. Однак побудова чисельних алгоритмів безпосередньо на підставі цієї формули, важко. Справа, зокрема, в тому, що формула звернення заснована на перетворенні Фур'є від однорідної функції, одержуваної з вихідних даних. Причому перетворення Фур'є розуміється в сенсі узагальнених функцій, а перетворення Фур'є в звичайному сенсі може не існувати. У цьому параграфі наводяться вирази для використовуваного перетворення Фур'є, що дозволяють при побудові чисельних алгоритмів використовувати метод, викладений у попередньому параграфі. Встановлюються також деякі співвідношення між результатами

Нехай задані функція f (x) = f (x _1, x _2, x _3), точка S = (s _1, s _2, s ₃₎ і вектор a = (a _1, a _2, a _3). Променевим перетворенням функції f (x) будемо називати функцію

,

що є інтегралом від f (x) уздовж променя, що виходить із точки S в напрямку вектора a.

Поряд з функцією в деяких ситуаціях розглядається функція

,

є інтегралом по всій прямий або, що теж саме, сумою інтегралів вздовж променів з точки z у напрямках a і-a.

Безліч точок S, для яких відомо променеве перетворення зазвичай є множиною точок, що належать деякої кривої, що є траєкторією руху джерела випромінювання.

Нехай задана крива, по якій рухається джерело, Ф (l) = (Ф ₁ (l), Ф ₂ (l), Ф ₃ (l)) параметр l пробігає деякий інтервал Щ дійсної прямої. Для будь-якого a = (a _1, a _2, a ₃₎ і l Про Щ визначимо функцію

.

Функція g (a, l) є інтеграл від функції f (x) уздовж проходить через точку Ф (l) у напрямку вектора a. Відзначимо, що при будь-якому фіксованому l функція є l однорідної функцією a ступеня -1:

. (2.1.1)

Для функцій, що мають фінітних носій, в [101] отримана формула:

. (2.1.2)

При фіксованому l функція G ⁺ (b, l) є перетворення Фур'є від функції по змінній a, b = (cosq cosf, sinq cosf, sinf). У формулі (2.1.2) l залежить від x і b і вибирається з умов: скалярний твір (b, x) дорівнює (b, f (l)), але (b, Ф (l)) не дорівнює нулю. Значення функції f (x) може бути відновлено в точці x, якщо таке l існує для будь-якого b. Геометрично це означає, що будь-яка площина, що перетинає точку x носія функції, перетинає криву Ф (l) так, що знаменник у (2.1.2) не звертається в нуль. Прикладом кривої, що задовольняє умовам Кирилова-Туя, є сукупність двох одиничних кіл, що лежать у взаємно перпендикулярних площинах, якщо носій лежить в одиничному кулі. Для циліндричних об'єктів можна використовувати гвинтову лінію.

У формулу (2.1.2) входить G ⁺ (b, l) - перетворення Фур'є від функції , Проте перетворення Фур'є, що розуміється в звичайному сенсі:

,

в даному випадку не існує, так як є однорідною і має на нескінченності порядок 1 / к a к. Преоразованіе Фур'є тут розуміється в сенсі узагальнених функцій. Оскільки однорідна функція, то при будь-якому фіксованому l вихідні дані, повністю визначаються своїми значеннями на поверхні до a к = 1. Перехід до функції, заданої у всьому просторі R ³ при використанні перетворення Фур'є призводить до узагальнених функцій. Перетворення Фур'є в сенсі узагальнених функцій є лінійним функціоналом над відповідним простором. Докладніше про це буде сказано в наступних параграфах. Тут нам важливо відзначити, що не будь-який функціонал задається за допомогою регулярної функції. Для того, щоб використовувати формули типу (2) для побудови алгоритмів, необхідно показати, що задається за допомогою регулярної функції і мати для неї вираження через функцію . У роботі [101] дається вираз, що зв'язує , При x відмінному від нуля за допомогою регулярних операцій з шуканої функцій f (x), тобто фактично показано, що функціонал задається за допомогою регулярної функції. Однак для побудови алгоритмів томографічної реконструкції потрібно висловити не через шукану функцію f (x), а через вихідні дані .

Отже, перейдемо до знаходження . Ми будемо використовувати те, що є однорідною функцією по a фіксованому l. В [95] доведено наступне

Твердження: Нехай Тобто перетворення Фур'є в сенсі узагальнених функцій від однорідної функції , Тоді

. (2.1.3)

Суворе доказ вимагає істотного використання апарату узагальнених функцій, що розуміються як лінійні функціонали над відповідним простором. Тут ми обмежимося викладом основних моментів докази. Зокрема, заміну змінних в розбіжних інтеграли ми будемо робити за тими ж правилами, що і в звичайних.

Уявімо у вигляді

,

(Оскільки параметр l фіксований, його на даному етапі можна опустити).

Як вже зазначалося вище, інтеграл є розбіжним, тим не менш, переходячи до сферичним координатами за звичайними правилами, отримуємо:

,

де b = b (j, q) = (cosq cosj, sinq cosj, sinj), j О [-p / 2, p / 2], q О [0, p].

Враховуючи, що , А також те, що інтегрування по кутах j і q відповідає інтегрування по одиничній сфері, приходимо до виразу

.

Інтеграл по r є перетворення Фур'є від r _{+ +.} Використовуючи таблиці для перетворення Фур'є узагальнених функцій [19], приходимо до виразу (2.1.3).

Для дійсних функцій f (x) у формулі (2) потрібна уявна частина :

.

Використовуючи узагальнені функції, зосереджені на поверхні [19], отримуємо наступне наслідок:

.

Тут S (x) = {g О S ^2Ѕ (x, g) = 0), v похідна за напрямом x. Підставляючи в (2.1.2) функції і , Що залежать від параметра l, отримуємо формулу звернення, придатну для побудови чисельних алгоритмів:

(2.1.4)

Тут S (x) v окружність, що є перетином одиничної сфери і площини P (b). Площина P (b) проходить через початок координат ортогональна вектору b. Символ W (x) означає інтегрування по колу. Оператор L (b, D) означає диференціювання функції в напрямку вектора b:

,

при цьому l, залежне від b і x, залишається фіксованим.

Як і вище, b = b (q, j) = (cosq cosj, cosq sinj, sinq), l = l (q, j) = l (x, b) таке, що скалярний добуток (x, b) дорівнює ( b, g (l)) і (b, g ^/ (l)).

У формулі (4) використовуються регулярні функції, і вона придатна для побудови чисельних алгоритмів.

Зауваження. А.С. Денисюком незалежно і іншим методом, без явного використання перетворення Фур'є узагальнених функцій, отримані формули звернення функції g ⁺ в R ^n. При n = 3 формули О.С. Денисюка і формули, одержувані викладеним способом з формули Туя, збігаються.

Вище були отримані формули, які дозволяють будувати чисельні алгоритми відновлення функції f (x) = f (x _1, x _2, x ₃₎ за її променевому перетворенню

Далі ми будемо опускати символ f і використовувати позначення .

При фіксованому S функція є функцією в тривимірному просторі, але в силу ee однорідності існують поверхні, такі що повністю визначається своїми значеннями на них (поверхні розташування приймачів випромінювання).

Вихідні дані у вигляді функції зручно використовувати, якщо матриця приймачів розташована на сфері. Однак у реальних ситуаціях матрицю приймачів звичайно розташовують на площині або поверхні циліндра. У цих випадках зручно використовувати дещо інший вигляд вихідних даних.

Плоский детектор.

Ми будемо припускати, що для джерела, що знаходиться в точці S = (s _1, s _2, s _3), вихідні дані реєструються в площині P, обумовленою рівнянням x s ₁ + y s ₂ + z s ₃ =-Ѕ SЅ. Площина P, визначається наступними умовами:

площину P перпендикулярна променю, що з'єднує джерело з початком координат;

площину P проходить через точку S = (s _1, s _2, s _3.)

Відстань D між площиною реєстрації і джерелом одно подвоєному відстані від джерела до початку координат. У площині реєстрації будемо використовувати прямокутну систему координат (p _1, p _2), початок якої знаходиться в точці перетину з променем, що з'єднує джерело з точкою (0, 0, 0). Таким чином, якщо джерело знаходиться в точці S = (s _1, s _2, s _3), то початок системи координат (p _1, p ₂₎ у площині спостереження знаходиться в точці з координатами тривимірними-s _{1,-s 2,} - s _{3 =} - S.

При реконструкції в конусі променів найбільш поширеними прикладами траєкторій джерела є гвинтова лінія і сукупність двох кіл лежать в пересічних площинах.

Траєкторія у вигляді двох кіл.

Розглянемо коло, що лежить в площині z = 0.

Напрямок осі p ₂ в площині реєстрації буде співпадати з напрямом осі z.

Вісь p ₁ системи координат візьмемо на лінії перетину площини реєстрації з площиною, що містить коло, по якому рухається джерело. Для остаточного визначення системи координат необхідно вибрати одне з двох можливих напрямів осі p _1. Якщо s ₃ = 0, s ₁ = r cosl, s ₂ = r sinl (джерело рухається в площині z = 0), то позитивний одиничний вектор на осі p ₁ виберемо так, щоб він збігався з вектором (cos (l + p / 2), sin (l + p / 2), 0) = (-sinl, cosl, 0) = (-s ₂ / Ѕ SЅ, s ₁ / Ѕ SЅ, 0).

Точка, що має в площині реєстрації координати (p _1, p _2), має наступні просторові координати:

x = - p ₁ sinl - r cosl = - p ₁ s ₂ / Ѕ SЅ - s _1,

y = p ₁ cos l - r sinl = p ₁ s ₁ / Ѕ SЅ - s _2, z = p _2.

У випадку плоского детектора, вихідними даними є інтеграли по променям, що з'єднує точки (p _1, p ₂₎ у площині реєстрації з джерелом S.

Реєстрована функція g _r (p _1, p _2, l) є інтеграл від шуканої функції f (x) = f (x _1, x _2, x ₃₎ уздовж променя виходить із точки S = (s _1, s _2, s ₃ ) = (r cosl, r sinl, 0) в напрямку точки

P = (- p ₁ sin l - r cosl, p ₁ cosl - r sinl, p ₂₎ = (- p ₁ s ₂ / Ѕ SЅ v s _1, p ₁ s ₁ / Ѕ SЅ v s _2, p ₂₎ .

Інтегральна форма реєстрованої функції має вигляд:

При t = 0 промінь проходить через точку S = (r cosl, r sinl, 0), при t = 1 v через точку P = (p _1, p ₂₎ = (- p ₁ sin l - r cosl, p ₁ cosl - r sinl, p _2).

Отже, ми маємо співвідношення між функціями g _r (p _1, p _2, l) і :

,

.

Поряд з позначенням g _r (p _1, p _2, l), ми будемо використовувати позначення g _r (p _1, p _2, S (l)), g _r (p _1, p _2, S) і g _r (P , S), тут S (l) точка на траєкторії джерела, відповідна параметру l, P = (p _1, p _2). Ми висловили функцію g _r (p _1, p _2, l) через функцію = G ⁺ (x, l).

У формулі звернення променевого перетворення використовується функція g ⁺ (x, l) = для того, щоб використовувати g _r (p _1, p _2, l), реєструються у випадку плоского детектора, потрібно висловити g ⁺ (x, l) використовуючи g _r (p _1, p _2, l).

Для подальшого нам будуть потрібні координати (p _1, p ₂₎ (у системі координат площині реєстрації) точки перетину площини реєстрації даних з лучем (S + tx) = (s ₁ + tx _1, s ₂ + tx _2, s ₃ + tx ₃ ). Ці координати мають вигляд:

.

.

Тепер ми можемо висловити використовуючи gr (p 1, p 2, l):

= G + (x, l) = gr (2 Ѕ S (l) Ѕ (s2 (l) x 1 v s1 (l) x 2) / ,-2Ѕ S (l) Ѕ 2x 3 / , L),

якщо = 0, якщо І 0.

Отже, ми маємо наступне співвідношення між функціями:

g + (P, l) і = G + (x, l); P = (p 1, p 2), x = (x 1, x 2, x 3,);

= G + (x, l) =

= Gr (2 Ѕ S (l) Ѕ (s2 (l) x 1 v s1 (l) x 2) / , - 2Ѕ S (l) Ѕ 2x 3 / , L),

якщо <0,

= 0, якщо І 0.

При переході від функції g + (x, l) = до функції g r (P, S) інтегрування по колу S (l) у тривимірному просторі замінюється на інтегрування по прямих лініях у площині реєстрації. Відзначимо, що формули звернення променевого перетворення, що використовують інтегрування вздовж прямих у площині реєстрації.

4.3 Елементи теорії узагальнених функцій у застосуванні до задач звернення променевого перетворення

Узагальнена функція це безперервний лінійний функціонал на просторі До всіх функцій a (x), що мають похідні всіх порядків і фінітних носій (свій для кожної з функцій α (x)). Будь-яка регулярна інтегрована функція f (x) задає лінійний функціонал (f, a):

. (2.2.1)

Однак на просторі функцій K існують безперервні лінійні функціонали, які не можуть бути задані за допомогою регулярних інтегровних функцій, найбільш відомими прикладами таких функціоналів є δ-функція та її похідні. Іншим широко відомим прикладом є функціонал, заснований на функції (1 / x) d x. Функція 1 / x x є регулярною, однак вона не є інтегрованою. При завданні відповідного функціоналу інтеграл

(2.2.2)

розуміється в сенсі головного значення:

.

Таке розуміння інтеграла використовується при визначенні перетворення Гільберта від функції α (x) як згортки з функцією 1 / x x.

.

Перетворення Гільберта використовується, зокрема, в одній з формул обернення перетворення Радона в двовимірному просторі. Ця формула звичайно приводиться в інструкціях з комп'ютерної рентгенівської томографії. Однак метод згортки і зворотного проектування, часто використовуваний при побудові чисельних алгоритмів томографічної реконструкції, заснований на дещо іншому вигляді формули обернення перетворення Радона. У цьому методі по суті використовується згортка проекційних даних послідовністю функцій сходяться до 1 / x x ² в сенсі узагальнених функцій.

Лінійний функціонал, відповідний функції 1 / x x ^2, або, що те ж саме, узагальнена функція 1 / x x ² визначається формулою [19]

(2.2.3)

Інтеграл у (2.2.3) сходиться у звичайному сенсі для будь-якої функції a (x) з простору основних, і навіть з більш широкого класу, функцій.

У формулах обернення перетворення Радона використовується згортка даних з функцією 1 / x x ^2. Згортка узагальнених функцій визначається наступним чином.

Нехай задані два функціонала f і g. Дія функціонала f * g є їх згорткою, на функцію a з простору основних задається формулою

(F * g, a) = (f _x, g _y, a (x + y))). (2.2.4)

Тут g _y означає, що функціонал діє на функцію a, як функцію змінної y, а функціонал f діє на отриману функцію змінної x. Якщо функціонали f і g можна задати регулярними функцій, то функціонал згортки визначений формулою (2.2.4) можна задати функцією, яка є згорткою відповідних функцій у звичайному сенсі.

Тут слід зробити одне зауваження. Навіть якщо функція однієї змінної a (t) має фінітних носій, функція двох змінних a (x + y) не є функцією з фінітним носієм. Це означає, що існування функціонала f * g для конкретних функціоналів f і g або необхідно доводити. Відомо, що для існування функціоналу згортки, достатньо, щоб один з функціоналів мав фінітних носій.

Якщо розглядати задачі томографії, то там з функцією 1 / x x ² згортаються вихідні дані, які регулярні і мають фінітних носій. Можна показати також, що необхідна згортка виражається формулою:

S (r, j) = I (r, j) * (-1 / p r ²⁾ =

(2.2.5)

У реальних ситуаціях функція I (r, j) відома в деякому дискретній множині точок. Для того, щоб використовувати формулу (2.2.4) потрібно побудувати апроксимацію функції I (r, j), таку що інтеграл у правій частині має сенс. Інтеграл (2.2.4) завідомо сходиться, якщо функція I (r, j) належить безлічі K, тобто має фінітних носій і є нескінченно диференційовною.

Однак апроксимація даних нескінченно диференційовною функцією може виявитися громіздкою при побудові чисельних алгоритмів. Крім того, використання нескінченно диференційовних функцій може призводити до загладжування кордонів областей з різко відмінними плотностями. Для збіжності інтеграла в (2.2.5) достатньо, щоб функція I (r, j) мала в кожній точці кінцеві односторонні похідні першого порядку по змінній r. Це дозволяє, зокрема, використовувати кубічні сплайни для побудови апроксимації функції I (r, j).

Основними операціями з узагальненими функціями, використовуваними в задачах томографії, є згортка, диференціювання та перетворення Фур'є. Основна ідея визначення операцій полягає в тому, що деякі властивості функціоналів, що задаються регулярними функціями, беруться за основу при визначенні відповідних операцій над узагальненими функціями, які є лінійними функціоналом.

На цій основі побудовано наведене вище визначення згортки. Особливо просто і наочно цей прийом можна продемонструвати при визначенні операції диференціювання узагальнених функцій.

Нехай лінійний функціонал f задається регулярної функцією f (x) має інтегровних похідну. Для дії похідної на функцію a (x) з простору основних можна записати рівність

, (2.2.6)

тут використано інтегрування по частинах і те, що a (x) дорівнює нулю поза деякого кінцевого інтервалу.

Наведене вище властивість береться за основу при визначенні похідної узагальненої функції. Нехай задано функціонал f, його похідної називається функціонал f ^/, визначається рівністю . Оскільки функції з простору основних нескінченно диференційовні, то визначення є коректним і узагальнені функції мають похідні будь-якого порядку.

Перейдемо до визначення перетворення Фур'є в сенсі узагальнених функцій. У приводившихся вище визначеннях функції, що входять у простір основних, були дійсними. При визначенні перетворення Фур'є доцільно в якості основних розглянути комплекснозначние функції.

Нехай K простір комплексних основних функцій (нескінченно диференційовних з фінітним носієм).

Кожній комплекснозначной локально інтегровною функції f (x) ставиться у відповідність функціонал

,

комплексно пов'язана з f (x), a (x) Про K.

Безліч всіх лінійних безперервних функціоналів на K утворює комплексне простір узагальнених функцій K ^/. Позначимо через Z - множина функцій, що є перетвореннями Фур'є функцій з K.

Перетворенням Фур'є елемента f з простору K називається функціонал g на просторі Z, діє за формулою

(G, y) = 2 p (f, a), (2.2.7)

тут j такий елемент з K, для якого перетворення Фур'є є y. Тобто для того щоб обчислити дію функціоналу g на функцію y (l) з простору Z, потрібно:

знайти таку функцію a (x) з простору K, перетворенням Фур'є, якою є функція y (l);

знайти дію функціонала f на знайдену функцію a (x).

Простору основних функцій і функціоналів над ними обрані нами так, що обидва кроку завжди здійснимі.

Тут слід звернути увагу на те, що узагальнені функції та їх перетворення Фур'є визначаються як лінійні функціонали над різними основними просторами. Причому функції з безлічі Z, на якому діють перетворення Фур'є, не є функціями з фінітними носіями, але продовжують залишатися нескінченно диференційовних. Що дозволяє зберегти багато корисних властивостей узагальнених функцій.

У формулах звернення променевого перетворення, на яких засновані алгоритми вирішення завдання тривимірної комп'ютерної томографії, використовується перетворення Фур'є однорідних функцій. Класичне перетворення Фур'є таких функцій не існує, перетворення Фур'є в формулах розуміється в сенсі узагальнених функцій.

Розглянемо трохи докладніше це питання з точки зору можливості побудови відповідних чисельних алгоритмів у тривимірному просторі.

Нагадаємо визначення променевого перетворення, яке було дано в попередніх параграфах.

Променевим перетворенням функції f (x) = f (x _1, x _2, x ₃₎ називається функція

, (2.2.8)

є інтегралом від f (x) уздовж променя, що виходить із точки S = (s _1, s _2, s ₃₎ у напрямку вектора a = (a _1, a _2, a _3).

Як вже зазначалося вище, у поряд з функцією розглядається функція

,

є інтегралом по всій прямий або, що теж саме, сумою інтегралів вздовж променів з точки S у напрямках a і - a.

Обидві функції є однорідними ступеня -1, тобто для них виконуються рівності

, .

Відзначимо також, що є парною, а функція такою не є.

Поняття однорідності ступеня l можна природним чином розширити на узагальнені функції, якщо взяти за основу рівність g (g x) = gl g (x). У термінах дії на основну функцію j рівність запишеться у вигляді (g, j (x / g) = gl ^{+ n} (g, j (x)), тут gv будь дійсне число більше за нуль, n n - розмірність простору, в якому задані основні функції. В інтегральному уявленні узагальнених функцій показник n виникає при відповідній заміні змінних в d x.

Відомо, що перетворення Фур'є однорідної узагальненої функції, теж є однорідною узагальненою функцією.

Для інтегровних, обмежених і мають обмежений носій, функцій f їх променеве перетворення є регулярною однорідної функцією. З результатів робіт випливає, що в тривимірному просторі перетворення Фур'є таких функцій, що розуміється в узагальненому сенсі, задається регулярної функцією. Регулярна однорідна функція задається своїми значеннями на одиничній сфері. Таким чином, в практичних ситуаціях при інвертування променевого перетворення нас цікавить співвідношення між двома функціями. Одна з них є звуженням на одиничну сферу променевого перетворення, а інша - звуженням на одиничну сферу перетворення Фур'є променевих даних, що розуміється в сенсі узагальнених функцій. Подібне перетворення між функціями, заданими на одиничній сфері природно назвати перетворенням Семяністого, оскільки в його роботі вперше отримано подібні співвідношення для симетричних однорідних функцій в n-мірних просторах. Як вже зазначалося вище, функція не є симетричною, для неї відповідні співвідношення для функцій на одиничних сферах в тривимірному просторі були отримані в попередніх параграфах.

Раніше були розглянуті формули звернення променевого перетворення, засновані на очевидне використання узагальнених функцій, і прийоми, що дозволяють наводити ці формули до виду зручному для побудови чисельних алгоритмів.

До висновку формул звернення променевого перетворення є інший підхід, який не використовує узагальнені функції в явному вигляді. Ми покажемо тут, що фактично цей метод теж заснований на використанні перетворення Фур'є в сенсі узагальнених функцій.

Променевими даними називається функція

,

Ф = (Ф _1, Ф _2, Ф ₃₎ Про R ^3, b О S ² (S ² v одинична сфера). (Не важко бачити, що в наших позначеннях це функція ).

У формулах звернення використовуються наступні функції:

(2.2.9)

, (2.2.10)

(S ² / ² - половина одиничної сфери), - Скалярний добуток векторів і .

Формули звернення до має вигляд

, (2.2.11)

де , R v радіус кулі, в якому міститься носій функції f (х), -Елемент поверхні на одиничній сфері.

Якщо для будь-якого l, такого, що Ѕ lЅ <R і будь-якого b О S ² / ² існує точка Ф на траєкторії джерела така, що Ф Ч b = l (виконуються умови Кирилова-Туя), то формула (2.2.11) може бути використана для визначення функції f (х).

У наголошується, що функція F при тривимірній томографічної реконструкції в конусі променів певною мірою аналогічна ролі перетворення Фур'є в двовимірної томографії. Цей факт не є випадковим.

Дійсно, в показано, перетворення Фур'є по b в сенсі узагальнених функцій від функції g (b, Ф) має вигляд

. (2.2.12)

Знаменник в (2.2.12) може бути рівний нулю, і (2.2.12) слід розуміти в сенсі узагальнених функцій. У доведено наступне твердження.

Якщо f j Про C ^2, то

. (2.2.13)

Враховуючи (2.2.13), (2.2.12) і (2.2.10) ми бачимо, що функція , Є перетворенням Фур'є в сенсі узагальнених функцій функції g (b, F), а функція F у формулі звернення визначається функцією .

4.4. Співвідношення між перетвореннями Радону, Фур'є і променевим перетворенням.

У попередніх параграфах були розглянуті формули безпосереднього звернення променевого перетворення. Існують також методи томографічної реконструкції, засновані на попередньому обчисленні перетворення Фур'є шуканої функції або її перетворення Радона. Як вже зазначалося раніше, у випадку двох змінних променеве перетворення і перетворення Радона збігаються. У тривимірному просторі v це різні перетворення.

Для розуміння суті методів томографії досить корисні співвідношення між різними видами перетворень. Багато такі співвідношення можна отримати у просторах будь-якої розмірності. Однак тут ми будемо, як правило, розглядати практично важливі випадки двох і трьох змінних.

Співвідношення між перетвореннями Радону і Фур'є.

Нехай - Перетворення Фур'є функції f (x _1, x _2, x _3):

.

Інтегруючи спочатку при фіксованому p по площині l ₁ x ₁ + l ₂ x ₂ + l ₃ x ₃ = p, а потім по p приходимо до добре відомим висловом, що зв'язує перетворення Фур'є і Радону

. (2.3.1)

Співвідношення між перетворенням Радону і перетворенням Фур'є променевих даних.

В [21] запропоновано спосіб інвертування променевого перетворення, заснований на тому, що за вихідними даними відновлюється перетворення Радона функції f (x)

,

що дозволяє по відомим формулам відновити f (x).

При виведенні формул звернення в роботі використовується функція

. (2.3.2)

Можна показати що для функцій і справедливе співвідношення

, (2.3.3)

тут З v деяка константа. Рівності (2.3.2) і (2.3.3) дають зв'язок між перетворенням Радону і променевим перетворенням в тривимірному просторі:

, (2.3.4)

Відзначимо також, що оскільки

, . Рівність (2.3.4) може бути записано у вигляді . З останнього рівності та визначення функції випливає, що функція x постійна на площинах, ортогональних вектору x, так як для всіх x, що належать такій площині, скалярний добуток (x, x) дорівнює константі. Цей факт лежить в основі багатьох методів поводження променевого перетворення. Це твердження отримано в [40], для випадку комплексних просторів. Для дійсних просторів це твердження міститься в роботах. Воно і може бути використано для відновлення функції в точках x, що належать області D, за значеннями на її кордонах.

Співвідношення між перетворенням Фур'є променевих даних і перетворенням Фур'є шуканої функції f (x).

У роботі отримано рівність:

, (2.3.5)

встановлює зв'язок між перетворенням Фур'є променевих даних і перетворенням Фур'є самої функції f, перетворення Фур'є розуміється в сенсі узагальнених функцій. Для того, щоб використовувати цю формулу для знаходження функції f потрібно мати формули для обчислення узагальненого перетворення Фур'є за променевим даними. Такі формули були наведені вище.

На закінчення, хотілося б сказати, що розкриття того безлічі питань, порушених у цій роботі, можна б було продовжувати ще дуже довго, так що ряд тем представлені кілька стиснуте. Особливий інтерес являло вивчення саме технічної (фізичної, якщо завгодно) сторони комп'ютерної томографії, як методу діагностики. Зауважень до роботи може, в принципі, виникнути багато, однак сподіваюся на кілька поблажливе ставлення - терміни були стислі, питання - великий (та й сам процес написання переривався - поширювати в комп'ютері win95.cih).

5. Використаної літератури.

1. Розенштраух Л.С. Невидиме стало зримим (успіхи і проблеми променевої діагностики) .- М.: Знание, 1987 .- 64 с.

2. Томографія грудної клітини / Помозгов А.І., Терновий С.К., Бабин Я.С., Лепихин Н.М. - К.: Здоров'я, 1992 .- 288 с.

3. Комп'ютерна томографія мозку. Верещагін Н.В., Брагіна Л.К., Вавілов С.Б., Левіна Г.Я. - М.: Медицина, 1986.-256 с.

4. Коновалов А.Н., Корнієнко В.М. Комп'ютерна томографія в нейрохірургічної клініці .-

М.: Медицина, 1988. - 346 с.

5. Фізика візуалізації зображень в медицині: У 2-х томах.

Т.1: Пер. з англ. / Под ред. С. Уебба .- М.: Світ, 1991 .- 408 с.

6. Антонов А.О., Антонов О.С., Литкін С.О. / / Мед.техніка.-1995 .- № 3 - с.3-6

7. Бєлікова Т.П., Лапшин В.В., Яшунського Н.І. / / Мед.техніка.-1995 .- № 1-с.7